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Cuadernillo Interactivo

Movimiento Armónico Simple

y Movimiento Oscilatorio

FÍSICA III
Autores
Eddier Jhoan Bohorquez Patiño
Daniela Nieto Celis
Capítulo 1

Movimiento Oscilatorio

El movimiento oscilatorio ocurre cuando un móvil se desplaza repetidamente de un lado a otro de una posición de equilibrio, siguiendo una ley física determinada. Es uno de los fenómenos más fundamentales en la naturaleza: desde el latido del corazón hasta las ondas electromagnéticas.

Oscilación Sencilla

Desplazamiento desde un extremo hasta el otro de la trayectoria. Es medio ciclo del movimiento.

Oscilación Completa

Desplazamiento de ida y vuelta: del extremo, al otro extremo, y de regreso al punto de partida. Es un ciclo completo.

Fundamentos

Conceptos Básicos

Período (T)

Tiempo que tarda en completarse una oscilación completa. Se mide en segundos (s).  \( T = \dfrac{t}{n} \)

Frecuencia (f)

Número de oscilaciones por segundo. Se mide en Hertz (Hz).  \( f = \dfrac{n}{t} = \dfrac{1}{T} \)

Elongación (x)

Distancia instantánea desde la partícula hasta el centro de equilibrio. Varía entre \(-A\) y \(+A\).

Amplitud (A)

Máxima distancia desde el centro de la trayectoria hasta un extremo. Es la elongación máxima.

Frecuencia Angular (ω)

Rapidez angular asociada al MAS.  \( \omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T} \)   Se mide en rad/s.

Capítulo 2

Movimiento Armónico Simple

El M.A.S. es un movimiento periódico y oscilatorio en el que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento y apunta siempre hacia la posición de equilibrio.

Una partícula describe M.A.S. si cumple tres condiciones:

Su movimiento es oscilatorio

Su movimiento es periódico

La amplitud es constante

Analogía con el MCU

Imagina una rueda girando a velocidad constante. Si iluminas un punto del borde con una linterna, la sombra proyectada sobre una pared se mueve arriba y abajo describiendo exactamente un M.A.S. La posición vertical de esa sombra es la proyección del movimiento circular uniforme.

Simulación Interactiva
Proyección del MCU sobre el eje horizontal
x(t)
v(t)
a(t)

Controles

Amplitud (A)2.00 m
Frec. Angular (ω)1.00 rad/s
Fase Inicial (φ)0.00 rad

Visibilidad

🔵 Círculo MCU
📐 Proyección
✨ Trail neón
⚡ Vec. Velocidad
📉 Vec. Aceleración

Datos en Tiempo Real

Tiempo (t)0.00 s
Posición (x)0.00 m
Velocidad (v)0.00 m/s
Aceleración (a)0.00 m/s²
Período (T)6.28 s
Frecuencia (f)0.16 Hz
Ecuación de Posición

Posición x(t)

La posición de la partícula se obtiene proyectando el radio \(A\) del movimiento circular sobre uno de los ejes. Si el ángulo barrido es \(\theta = \omega t + \varphi\):

Ecuación de Posición
\[ x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi) \]
Variables
  • \(x\) — Elongación (m)
  • \(A\) — Amplitud (m)
  • \(\omega\) — Frecuencia angular (rad/s)
  • \(\varphi\) — Fase inicial (rad)
Observaciones
  • Cuando \(t = 0\), \(x = A\sin(\varphi)\)
  • Oscila entre \(-A\) y \(+A\)
  • La función es sinusoidal y periódica
  • El período es \(T = \frac{2\pi}{\omega}\)
Elongación en X
Ecuación de Velocidad

Velocidad v(t)

La velocidad se obtiene derivando la posición respecto al tiempo. La velocidad tangencial del MCU es \(v = \omega \cdot r\), y su proyección nos da:

En función del tiempo
\[ v(t) = \omega A \cos(\omega t + \varphi) \]

Usando la identidad \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) se elimina el tiempo:

En función de la posición
\[ v = \pm\, \omega \sqrt{A^2 - x^2} \]
⚡ Velocidad Máxima
Ocurre en el centro (\(x = 0\)):  \(v_{max} = \omega A\)
🛑 Velocidad Cero
Ocurre en los extremos (\(x = \pm A\)):  \(v = 0\)
Ecuación de Aceleración

Aceleración a(t)

La aceleración proviene de proyectar la aceleración centrípeta \(a_c = \omega^2 A\) del MCU. El signo negativo indica que siempre apunta hacia el equilibrio (fuerza restauradora).

En función del tiempo
\[ a(t) = -\omega^2 A \sin(\omega t + \varphi) \]

Como \(x = A\sin(\omega t + \varphi)\), sustituimos directamente:

En función de la posición — Ecuación Fundamental
\[ a = -\omega^2 \cdot x \]
⚠️ ¿Por qué el signo negativo?
Indica que la aceleración siempre se opone al desplazamiento. Si la partícula está a la derecha (\(x > 0\)), la aceleración apunta hacia la izquierda, y viceversa. Es la esencia de la fuerza restauradora.

ACELERACIÓN MÁXIMA

\(|a_{max}| = \omega^2 A\)

En los extremos (\(x = \pm A\))

ACELERACIÓN CERO

\(a = 0\)

En el centro (\(x = 0\))

Posición vs Aceleración
Resumen

Fórmulas Fundamentales

Posición
\[ x = A\sin(\omega t + \varphi) \]
Velocidad
\[ v = \omega A\cos(\omega t + \varphi) \]
Aceleración
\[ a = -\omega^2 A\sin(\omega t + \varphi) \]
Relaciones de Fase
  • La Velocidad está desfasada \(90°\) (\(\pi/2\) rad) respecto a la Posición.
  • La Aceleración está desfasada \(180°\) (\(\pi\) rad) respecto a la Posición.
  • La Aceleración es proporcional y opuesta a la posición: \(a = -\omega^2 x\).
Relaciones Útiles
\(\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\)
\(f = \frac{1}{T}\)
Segunda Sección

PARTE II

Trabajo, Elasticidad y Ley de Hooke

Capítulo 3

Elasticidad y Ley de Hooke

Los materiales elásticos tienen la capacidad de deformarse bajo la acción de una fuerza y recuperar su forma original al retirarla. Sin embargo, si la fuerza es muy grande o actúa por tiempo prolongado, el material puede volverse plástico (deformación permanente).

Robert Hooke (1678)

Hooke descubrió que la fuerza aplicada a un resorte es directamente proporcional a la deformación producida, siempre que no se supere el límite elástico del material.

Ley de Hooke
\[ F = -k \cdot x \]
Variables
  • \(F\) — Fuerza restauradora (N)
  • \(k\) — Constante elástica del resorte (N/m)
  • \(x\) — Deformación / elongación (m)
Clave
  • El signo negativo indica que la fuerza se opone al desplazamiento
  • Es una fuerza restauradora: siempre apunta hacia el equilibrio
  • Las fuerzas restauradoras generan movimiento oscilatorio
Capítulo 4

Energía y Trabajo

La energía es la capacidad que posee un sistema físico para realizar un trabajo. Ambos se miden en Joules (J) en el Sistema Internacional. Un Joule es el trabajo realizado cuando una fuerza de 1 N desplaza un objeto 1 m en la dirección de la fuerza.

⚠️ Importante: Si no hay desplazamiento, no hay trabajo, sin importar cuánta fuerza se aplique.
Trabajo con fuerza constante
\[ W = F \cdot d \cdot \cos\theta \]

Si la fuerza varía con la posición (como en un resorte), usamos una integral:

Trabajo con fuerza variable
\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\, dx \]
Trabajo del resorte

Sustituyendo \(F = -kx\) en la integral:

\[ W_{resorte} = \frac{1}{2}k\,x_1^2 - \frac{1}{2}k\,x_2^2 \]
Trabajo Constante
Energía Cinética

Energía Cinética

La energía cinética es la energía que posee un cuerpo en virtud de su movimiento. Todo objeto en movimiento puede realizar trabajo al detenerse.

Energía Cinética
\[ E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \]

Variables

\(m\) = masa (kg), \(v\) = velocidad (m/s), \(E_c\) se mide en Joules (J).

Proporcionalidad

Es proporcional al cuadrado de la velocidad: duplicar \(v\) cuadruplica \(E_c\).

Teorema Trabajo-Energía Cinética

El trabajo neto realizado sobre un objeto es igual al cambio en su energía cinética:

\[ W_{neto} = \Delta E_c = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \]
Energía en el MAS

Energía en el M.A.S.

En el movimiento armónico simple, la energía se transforma continuamente entre energía potencial elástica y energía cinética, manteniendo la energía total constante (sistema conservativo).

E. Potencial
\[ E_p = \tfrac{1}{2}kx^2 \]
E. Cinética
\[ E_c = \tfrac{1}{2}mv^2 \]
E. Total
\[ E_T = \tfrac{1}{2}kA^2 \]
Balance Energético
  • En el centro (\(x = 0\)): \(E_p = 0\), toda la energía es cinética \(\Rightarrow v = v_{max}\)
  • En los extremos (\(x = \pm A\)): \(E_c = 0\), toda la energía es potencial \(\Rightarrow v = 0\)
  • En cualquier punto: \(E_T = E_p + E_c = \frac{1}{2}kA^2 = \text{constante}\)
💡 Conservación: La energía total \(E_T = \frac{1}{2}kA^2\) solo depende de la amplitud y la constante elástica. No depende de la posición ni del tiempo.
Balance Ep vs Ec
Resumen

Fórmulas de Elasticidad y Energía

Ley de Hooke
\[ F = -kx \]
Trabajo
\[ W = \int F\, dx \]
Energía Cinética
\[ E_c = \tfrac{1}{2}mv^2 \]
Energía Potencial Elástica
\[ E_p = \tfrac{1}{2}kx^2 \]
Teorema Trabajo – Energía
\[ W_{neto} = \Delta E_c = \tfrac{1}{2}mv_f^2 - \tfrac{1}{2}mv_i^2 \]
Conexión con el M.A.S.

La oscilación armónica simple nace de la Ley de Hooke: cuando \(F = -kx\), se obtiene \(a = -\frac{k}{m}x = -\omega^2 x\), con \(\omega = \sqrt{k/m}\). Así, las constantes \(k\) y \(m\) determinan completamente la dinámica del sistema.

Laboratorio

Laboratorio Virtual

Observa la onda sinusoidal del M.A.S. en tiempo real. La curva muestra la posición \(x(t)\), y el punto oscilante representa la partícula.

Controles